Förenkling och ekvationslösning
Den här sidan innehåller en snabbkurs i algebra. Den fungerar bäst som repetition eftersom varje moment är kort sammanfattat. Exemplen kan ändras i inmatningsrutan framför varje uträkning.
Hoppa till
Faktorisering,
Bråkdivision,
Ekvationer,
Minsta gemensamma nämnare eller
Ekvationssystem.
Grundläggande förenkling
Algebraiska uttryck förenklas stegvis med hjälp av olika omskrivningar.
Tal förenklas med de fyra räknesätten.
Variabler förenklas genom att räknas ihop.
Förenkla tal.
%%3+4+2%10%%
Förenkla variabler.
%%4x+2x+x%10%%
Om det finns olika variabler i uttrycket summeras de för sig.
%%a+b+2a+5b%10%%
Multiplikation av tal och variabler.
%%5*3+2*3*b%10%%
Variabler som multipliceras med sig själv får exponenter.
%%a*a + 2b*2b%10%%
Parenteser
Multiplicera in ett tal i en parentes.
%%3(a+2)%10%%
Multiplicera in en variabel i en parentes.
%%a(b+3)%10%%
Multiplicera två parenteser.
%%(a+3)(2+b)%5%%
En parentes med minustecken framför är samma sak som multiplikation med -1. När parentesen tas bort får alla termer omvänt tecken.
%%-(a-3)%5%%
Ett negativt tal kan multipliceras in i två steg. Först multipliceras talet utan minustecken in i parentesen, sedan byter man tecken.
%%-2(a-3)%20%%
Faktorisering
Att faktorisera betyder att skriva om ett uttryck som en multiplikation av flera faktorer.
Faktorisera talet 60
%%60%5%%
De minsta möjliga faktorerna i ett tal är primtal. Ett primtal är endast delbart med sig själv och 1.
Enklast är att faktorisera i flera steg. Bryt ut enkla faktorer först. Ur alla jämna tal kan 2 brytas ut. Till exempel är \(14 = 2 \cdot 7\).
Att bryta ut 2, 3, och 5 räcker ofta långt men ibland får man gå vidare med 7, 11, 13, 17 och så vidare.
Ur tal som slutar med en 0:a kan 10 brytas ut.
Man provar att dela talet med 2, 3, 5, ... tills man stöter på en faktor som går jämt ut, dvs divisionen saknar rest. Då har man en faktor som kan brytas ut. Talet divideras med faktorn och proceduren upprepas. En regel som är bra att kunna är att om siffersumman är delbar med 3 så är talet delbart med 3.
Faktorisera talet 3150.
%%3150%5%%
Kvoter kan förenklas om de har gemensamma faktorer. Om täljare och nämnare endast innehåller multiplikation kan faktorer som är lika strykas parvis. Det kallas för att förkorta bråket.
Faktorisera täljare och nämnare och förkorta.
%%105/30%5%%
Även uttryck med variabler kan förkortas.
%%(7ab)/3a%5%%
Variabler kan också förkortas.
%%(5x^2)/2x%5%%
Bråkdivision
Division av bråk görs genom att bråket skrivs om till en multiplikation.
%%(5/9)/(3/2)%10%%
Om täljaren är ett tal och nämnaren ett bråk kan samma formel användas genom att talet skrivs som ett bråk med nämnaren 1.
%%5/(7/3)%20%%
Ett bråk i täljaren och ett tal i nämnaren.
%%(5/9)/3%10%%
Balansmetoden
Ekvationer löses genom att man samlar alla x i ena ledet och talen i det andra. Balansmetoden innebär att göra samma förändring i båda leden så att ekvationen förenklas.
- Förenkla så att både vänsterled och högerled är så enkla som möjligt.
- Skriv om ekvationen genom att behandla vänsterled och högerled på samma sätt. Till slut finns enbart den okända variabeln i ena ledet, och ett tal i det andra.
Tillåtna operationer
- Addera eller subtrahera samma tal eller uttryck i bägge leden.
- Multiplicera eller dividera båda leden med samma tal eller uttryck. Talet får inte vara 0.
Addera med samma tal i båda leden och förenkla.
%%x-3=5%10%%
Subtrahera med samma tal i båda leden och förenkla.
%%x+4=5%10%%
Dividera med samma tal i båda leden och förenkla.
%%2x=10%10%%
Multiplicera med samma tal i båda leden och förenkla.
%%x/3=7%10%%
Om x finns i båda leden samlar man dem i ena ledet.
%%3x=10+x%10%%
De olika stegen kan kombineras.
%%2x+4=19-x%10%%
Multiplicera korsvis om båda leden är bråk.
%%(x-2)/3=(x-3)/2%10%%
Exempel med parenteser och teckenbyte.
%%2(3x+6)-(x-2)=24%10%%
Nämnaren innehåller x.
%%12/(2x)=3%20%%
Minsta gemensamma nämnare
Bråk med olika nämnare förenklas genom att hitta den minsta gemensamma nämnaren (MGN). Varje bråk förlängs så att nämnarna blir lika. En bra metod är att faktorisera nämnarna och ta med det högsta antalet av varje faktor i MGN.
%%x/3+x/2%7%%
Bråken innehållande x samlas i vänster led. Bråken skrivs på gemensamt bråkstreck genom att förlänga bråken så att de får den minsta gemensamma nämnaren 12.
%%x/3=5+x/4%10%%
Ekvationssystem
Om man har lika många ekvationer som obekanta kan man sätta upp och lösa ett ekvationssystem. Substitutionsmetoden innebär att en obekant löses ut ur en av ekvationerna. Sen ersätts variabeln med dess uttryck i en eller flera av de andra ekvationerna.
%%4x+2=2y; 2x=6y-46%20%%
%%x+y+z=9; 2x-y-z=-3; 3x+7y+5z=47%50%%
Andragradsekvationer
Om uttrycket redan är faktoriserat använder man
nollproduktmetoden. Om en faktor i en produkt är 0 så är hela uttrycket 0.
%%(x+2)(x-3)=0%7%%
En andragradsekvation kan lösas med PQ-formeln. Om man vill faktorisera uttrycket kan rötterna användas till att skriva om vänsterledet som produkten av två parenteser.
%%x^2-x-6=0%7%%
För att kunna använda PQ-formeln ska ekvationen först förenklas så att \(x^2\) står fritt utan prefix.
%%3x^2-9x-12=0%7%%